N. H. Abel, E. Galois's Abhandlungen ueber die algebraische Aufloesung der PDF

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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2 Es sei n ~ 2 eine natürliche Zahl. 3 Es sei n ~ 2 eine natürliche Zahl. 1 erfüllt. 2 erfüllt. ß einen linearen Vektorraum. 3 Für jede natürliche Zahl n ist also der Rn (die Menge aller Vektoren mit n Komponenten) ein linearer Vektorraum. 3 ein: (A 0) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition: Bei der Addition zweier Vektoren des Rn erhalten wir als Ergebnis wieder einen Vektor des Rn. (A I) Kommutativität der Addition: Summanden dürfen vertauscht werden. (A 2) Assoziativität der Addition: Die Reihenfolge, in der Teilsummen berechnet werden, ist beliebig.

Ermittlung der LKy = }_, Xl + }_, x 2 Die Parallele zu ,12 x 2 (,12 E R) schneidet die Gerade AI Xl (AI E R) in dem Punkt, der dem Wert AI = 2 entspricht. Die Parallele zu }'1 Xl (AI E R) liefert den Wert ,12 = - 2. 2 Linearkombinationen, lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 35 Die Begründung für unsere Vorgehensweise liegt in der geometrischen Interpretation der Addition zweier Vektoren des R2 (vgl. 2). Die Menge aller Linearkombinationen von Xl und x 2 besteht also genau aus allen Vektoren der Ebene.

4) erhalten wir für jede Komponente eine Gleichung: + ,12 = 5, AI + 3,12 = 4, 3,11 + 4,12 = I. 5) ,12 = 1 und damit ein Widerspruch in der dritten Gleichung, wenn AI = ,12 = 1 eingesetzt wird Wir haben soeben versucht, Zahlen AI und ,12 zu bestimmen, die jede der drei Gleichungen erfüllen. (Wie bereits erwähnt wurde, werden wir allgemeine Methoden zur Lösung eines solchen linearen Gleichungssystems in Kap. ) Der 32 I Vektorrechnung Widerspruch in der dritten Gleichung zeigt, daß es für AI und A2 keine Werte gibt, die alle drei Gleichungen erfüllen.

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